Els postulats d'Euclides són els pilars fonamentals de la geometria clàssica i formen la base del que coneixem com a geometria euclidiana.
Aquests postulats, presentats fa més de 2.300 anys, són un conjunt d'afirmacions tan simples i evidents que Euclides les va considerar veritats indiscutibles sobre les quals es podien construir teoremes i demostrar propietats més complexes.
Context històric
Euclides va ser un matemàtic grec que va viure a Alexandria al voltant del segle III aC. Durant el seu temps, Alexandria era un important centre cultural i intel·lectual. Euclides va reunir i va organitzar el coneixement geomètric existent a la seva obra mestra, "Els Elements" , un llibre que ha tingut una influència immensa al llarg de la història.
En aquest llibre, Euclides no només va recopilar teoremes i demostracions, sinó que també va establir un mètode axiomàtic que es va convertir en l'estàndard de rigor matemàtic durant segles.
Els postulats d´Euclides són les bases d´aquest sistema axiomàtic. La idea era simple: si partim de poques veritats bàsiques, evidents per si mateixes, podem construir un edifici matemàtic complet mitjançant la deducció lògica.
Els cinc postulats d'Euclides
Els postulats d'Euclides són afirmacions que descriuen relacions bàsiques en un pla geomètric. Analitzarem un per un.
1. Postulat de la recta
Donats dos punts qualssevol, es pot traçar una línia recta que els uneix.
Aquest postulat estableix que entre dos punts hi ha una única línia recta. És una afirmació intuïtiva, ja que en observar dos punts en un paper o en la realitat, sempre podem imaginar una línia que els connecta. Aquest postulat també implica que les línies rectes són infinites en longitud.
2. Postulat de lextensió de la recta
Una línia recta es pot estendre indefinidament a les dues adreces.
Aquí, Euclides ens diu que les línies rectes no tenen una fi. Podem perllongar-les tant com vulguem en tots dos sentits. .
3. Postulat del cercle
Donats un punt i una distància, es pot traçar un cercle amb aquest punt com a centre i la distància com a ràdio.
Aquest postulat introdueix la idea d'un cercle, una figura fonamental a la geometria. L'afirmació sembla evident perquè només cal imaginar un compàs traçant un cercle en un paper. Tanmateix, és més que una descripció intuïtiva: estableix que sempre podem crear un cercle perfecte si en coneixem el centre i la ràdio.
4. Postulat dels angles rectes
Tots els angles rectes són iguals entre si.
Aquesta afirmació pot semblar trivial, però té una importància cabdal. Els angles rectes (aquells de 90 graus) són una referència universal a la geometria. En declarar que tots els angles rectes són iguals, Euclides ens proporciona un estàndard que permet comparar i mesurar altres angles.
5. Postulat de les paral·leles
Si una línia recta que talla dues altres forma angles interiors del mateix costat la suma del qual és menor que dos angles rectes, llavors aquestes dues línies, prolongades indefinidament, es troben en aquest costat.
Aquest és el postulat més complex i controvertit dels cinc. En essència, descriu el comportament de les línies paral·leles: si no es troben dues línies, els angles formats amb una tercera línia tindran propietats específiques. Durant segles, matemàtics van intentar demostrar aquest postulat a partir dels altres quatre, sense èxit. Eventualment, aquesta cerca va portar al desenvolupament de les geometries no euclidianes.
Importància dels postulats
Els postulats d'Euclides no són només importants pel que diuen, sinó també per l'enfocament que representen. Abans d'Euclides, moltes idees matemàtiques eren presentades desordenadament i sense una base clara. En formular aquests postulats, Euclides va establir un model sistemàtic que assegurava que cada teorema es construís sobre afirmacions prèvies, garantint consistència i rigor.
La metodologia axiomàtica que Euclides va introduir va influir en àrees més enllà de la geometria. En filosofia, per exemple, va inspirar pensadors com Aristòtil i Descartes a organitzar les seves idees de manera similar. En matemàtiques, aquest enfocament va establir les bases per al desenvolupament de teories modernes, com ara el càlcul i la teoria de conjunts.
Les geometries no euclidianes
El cinquè postulat, també conegut com el postulat de les paral·leles, va ser font de grans debats. Molts matemàtics pensaven que aquest postulat era menys intuïtiu que els altres i van intentar deduir-lo a partir dels primers quatre. Tot i això, els seus intents van portar a un descobriment sorprenent: era possible desenvolupar sistemes geomètrics completament diferents en canviar el cinquè postulat.
Això va donar lloc a les geometries no euclidianes, com la geometria hiperbòlica i la geometria el·líptica. A la geometria hiperbòlica, per exemple, s'assumeix que a través d'un punt donat fora d'una línia passen infinites línies paral·leles. A la geometria el·líptica, no hi ha línies paral·leles. Aquestes variacions tenen aplicacions en la teoria de la relativitat i la comprensió de l'estructura de l'univers.