La geometria, una branca fonamental de les matemàtiques, s'encarrega d'estudiar les propietats i les relacions d'objectes geomètrics a l'espai. Al llarg de la història, els matemàtics han desenvolupat diversos tipus de geometria per abordar diferents conjunts de conceptes i aplicacions.
En aquest article, explicarem els tipus més rellevants de geometria, des de la tradicional geometria euclidiana fins a les geometries més avançades i especialitzades.
Geometria euclidiana
La geometria euclidiana, basada en els postulats d'Euclides, és el tipus més conegut i àmpliament ensenyat de geometria.
Aquesta branca s'enfoca en punts, línies, angles, polígons i sòlids al pla i l'espai. Els seus principis fonamentals han estat una base essencial per al desenvolupament de la geometria moderna.
Exemple
Un exemple clàssic és la geometria dun triangle en un pla, on els angles sumen 180 graus i la suma de les longituds de dos costats dun triangle sempre és més gran que la longitud del tercer costat (desigualtat triangular).
Geometria no euclidiana
Les geometries no euclidianes, com la hiperbòlica i l'el·líptica, es basen en axiomes diferents dels d'Euclides.
Estudien geometries en què es neguen alguns postulats euclidians, fet que porta a resultats sorprenents i útils en camps com la geometria de l'espai corb.
Geometria diferencial
La geometria diferencial utilitza tècniques de càlcul diferencial per analitzar les propietats geomètriques de corbes i superfícies. Hi juga un paper crucial en la teoria de la relativitat i en la descripció de fenòmens naturals i físics.
Geometria analítica
La geometria analítica combina la geometria amb l'àlgebra. Es representa comunament en coordenades cartesianes i es basa en l'aplicació d'àlgebra i anàlisi matemàtica per estudiar objectes geomètrics.
Aquesta branca ha tingut un impacte profund en camps com la física i l'enginyeria.
Geometria algebraica
La geometria algebraica combina conceptes geomètrics i algebraics per estudiar solucions d'equacions polinòmiques i la relació amb corbes i superfícies algebraiques.
Aquesta branca és fonamental en la teoria de números i en la criptografia.
Geometria computacional
La geometria computacional se centra en el desenvolupament d'algorismes i mètodes per resoldre problemes geomètrics mitjançant la computació.
Té aplicacions a la robòtica, la gràfica per ordinador i la planificació de trajectòries, entre altres camps tecnològics.
Exemple
Un exemple és la determinació de la intersecció de dues línies en un programa de disseny assistit per ordinador (CAD) utilitzat a l'enginyeria.
Geometria projectiva
La geometria projectiva se centra en les propietats geomètriques que són invariants sota transformacions projectives.
Aquesta branca s'utilitza per estudiar la relació entre punts, línies i projeccions a l'espai, i és essencial en la perspectiva artística i l'òptica.
Exemple
Un exemple seria la representació duna escena 3D en una imatge 2D, com la projecció dun objecte tridimensional en una fotografia.
Geometria fractal
La geometria fractal s'enfoca en objectes geomètrics que exhibeixen autosimilitud a diferents escales.
Els fractals s'utilitzen per modelar patrons naturals i artificials complexos, com ara la costa d'un continent o els sistemes caòtics.
El conjunt de Mandelbrot és un exemple famós de fractal. A mesura que s'amplia a diferents parts del conjunt, es revelen patrons similars a diferents escales.
Geometria descriptiva
És essencial en l'arquitectura, enginyeria i disseny industrial, permetent la creació de plànols i dibuixos tècnics precisos.
Exemple
La creació d'un pla de planta d'una casa amb totes les dimensions i els detalls tècnics és un exemple de geometria descriptiva.
Geometria topològica
La geometria topològica estudia propietats geomètriques que romanen invariants sota deformacions contínues, com ara la connectivitat i l'orientació. S'utilitza en la teoria de nusos, la topologia algebraica i l'anàlisi de dades.