Un poliedre és una figura geomètrica tridimensional les superfícies de la qual estan formades per un conjunt finit de polígons, anomenats cares , que tanquen un volum definit.
Aquests sòlids són objectes fonamentals a la geometria, i el seu estudi ha fascinat matemàtics i científics des de l'antiguitat per la rica varietat de formes i propietats que poden presentar.
Estructura d´un poliedre
Per comprendre millor l'estructura d'un poliedre és útil conèixer la relació entre els elements que el conformen:
- Cares : Són les superfícies planes que delimiten el poliedre. Cadascuna és un polígon.
- Arestes Són els segments que formen la vora entre dues cares adjacents.
- Vèrtexs : Són els punts on es troben tres o més arestes.
A més d'aquestes característiques bàsiques, els políedres poden variar considerablement en termes de les simetries i formes. Les simetries d'un poliedre fan referència a les transformacions espacials (com rotacions o reflexions) que permeten mapejar el políedre sobre si mateix sense alterar-ne l'estructura.
Classificació dels políedres
La classificació dels políedres és un aspecte clau en el seu estudi. Depenent de les característiques geomètriques, els políedres s'agrupen en diverses categories.
1. Segons la convexitat
-
Políedres convexos : Un poliedre és convex si qualsevol línia recta que el travessa intersecta la seva superfície en només dos punts. En altres paraules, tots els punts d'una línia recta que connecti dos punts qualsevol del políedre estaran dins del poliedre. Un exemple comú és el cub, on totes les cares són quadrades i cada vèrtex forma angles “sortints” o convexos.
-
Políedres còncaus En contrast, un poliedre és còncau si alguna línia recta pot travessar la seva superfície en més de dos punts. Això significa que el poliedre té alguna "esquerda" o angle diedre entrant. Els políedres còncaus poden tenir formes molt complexes, i no són tan comuns com els convexos a la natura.
2. Segons la regularitat de les cares
-
Políedres regulars Aquests políedres tenen una simetria excepcional. Es caracteritzen per tenir totes les cares formades per polígons regulars (és a dir, polígons amb costats i angles iguals), i tots els seus vèrtexs són congruents. Als políedres regulars, el mateix nombre de cares es troba a cada vèrtex. Els cinc políedres regulars, coneguts com a sòlids platònics , són:- Tetraedre : Compost per quatre cares triangulars.
- Galleda (o hexaedre) : Format per sis cares quadrades.
- Octaedre : Té vuit cares triangulars.
- Dodecaedre : Consta de dotze cares pentagonals.
- Icosaedre : Format per vint cares triangulars.
Aquests sòlids són únics pel seu alt grau de simetria i han estat estudiats des de l'època dels antics grecs, especialment per Plató, que els va donar nom.
-
Políedres irregulars : A diferència dels regulars, els políedres irregulars tenen cares i angles que no són necessàriament congruents. Encara que no tenen la simetria perfecta dels políedres regulars, molts són importants en l'arquitectura i l'enginyeria. Exemples de políedres irregulars inclouen els prismes i antiprismes , així com els sòlids arquimedians , que combinen polígons regulars en diferents configuracions per formar políedres semi-regulars.
3. Segons les uniformitats geomètriques
-
Políedres de cares uniformes : Totes les cares són polígons idèntics, encara que no necessàriament regulars. Aquest tipus de poliedre pot tenir diferents graus de simetria, però manté la mateixa forma a totes les seves cares.
-
Poliedres d'arestes uniformes : Totes les arestes uneixen el mateix parell de cares, cosa que li confereix una uniformitat en la disposició de les cares al llarg de les arestes.
-
Políedres de vèrtexs uniformes : En aquests políedres, tots els vèrtexs convergeixen el mateix nombre de cares i en el mateix ordre. És a dir, la disposició de les cares al voltant de cada vèrtex és la mateixa a tot el poliedre.
Classificació històrica i sòlids notables
L'interès pels políedres no és pas recent. Al llarg de la història, matemàtics i filòsofs han estudiat aquestes formes per la seva simetria i bellesa. A més dels sòlids platònics, ja esmentats, altres tipus de políedres notables inclouen:
-
Sòlids arquimedians Són poliedres semi-regulars que tenen més d'un tipus de polígon com a cara, però mantenen una disposició simètrica en els vèrtexs. Entre aquests es troben el cuboctaedre i l'icosidodecaedre.
-
Sòlids de Kepler-Poinsot Aquests políedres estrellats són extensions dels sòlids platònics, però permeten interseccions de les cares, la qual cosa els confereix una estructura més complexa i exòtica.
Propietats geomètriques dels políedres
Hi ha diverses fórmules i teoremes clau que ajuden a comprendre millor les propietats geomètriques dels políedres.
1. Fórmula d'Euler
Una de les propietats més fonamentals dels políedres convexos és la fórmula d'Euler , que estableix que per a qualsevol poliedre convex amb "V" vèrtexs, "A" arestes i "C" cares, es compleix la relació:
V−A+C=2
Aquesta fórmula va ser descoberta pel matemàtic suís Leonhard Euler i és vàlida per a tots els políedres convexos.
És una eina essencial en la topologia dels políedres, ja que ens ajuda a verificar la consistència estructural de qualsevol poliedre.
2. Angles diedres
L' angle diedre és l'angle que es forma entre dues cares adjacents d'un poliedre. Als políedres regulars, els angles diedres són congruents, mentre que als políedres irregulars, els angles diedres poden variar. La mesura d'aquests angles és important per determinar l'estabilitat i la simetria del poliedre.
3. Volum i àrea superficial
El càlcul del volum i l' àrea superficial d'un poliedre depèn de les formes geomètriques de les cares i de la disposició espacial. En el cas dels políedres regulars, hi ha fórmules específiques per calcular aquestes magnituds.
En políedres més complexos, com els sòlids arquimedians, el càlcul del volum i l'àrea superficial requereix fórmules més avançades que tenen en compte les dimensions i els tipus de les cares.
Exemples quotidians de políedres
- Piràmides Les piràmides d'Egipte són un exemple icònic de políedres en la història. Tenen una base quadrada i quatre cares triangulars.
- Cubs Objectes quotidians com caixes i daus són exemples de cubs, que tenen sis cares quadrades.
- Pilotes de futbol Estan formades per una combinació de pentàgons i hexàgons, creant una aproximació d'un icosàedre truncat.
- Panals d'abelles : Les abelles construeixen les bresques usant formes hexagonals, que s'agrupen en prismes hexagonals per maximitzar l'ús de l'espai.