La geometria euclidiana, nomenada en honor a l'antic matemàtic grec Euclides, ha estat un pilar fonamental al món de les matemàtiques des de la seva concepció al voltant del 300 aC
El seu llegat ha perdurat al llarg dels segles, i la seva influència es pot observar a diverses disciplines, des de la física fins a l'enginyeria.
La geometria euclidiana es basa en els "Elements d'Euclides", una obra que consta de tretze llibres que aborden diversos aspectes de la geometria. En aquests llibres, Euclides presenta una sèrie de definicions, axiomes i postulats que serveixen com a fonaments per estudiar les propietats de l'espai i les figures.
Un dels elements distintius de la geometria euclidiana és el seu enfocament a la deducció lògica, on cada resultat es deriva de proposicions anteriors.
Els cinc postulats fonamentals
A continuació, es descriuen els cinc postulats:
Postulat de la línia recta
“Atesa qualsevol parella de punts, és possible traçar una única línia recta que els uneix.”
Aquest postulat estableix una connexió directa entre dos punts mitjançant una línia recta. És la base per a la noció de connexió directa i la distància més curta entre dos punts a la geometria euclidiana.
Postulat de l'extensió infinita
“Una línia recta finita es pot estendre indefinidament en les dues adreces.”
Aquest postulat suggereix que no hi ha límits per a la longitud duna línia recta. Implica que una línia recta pot prolongar-se infinitament en les dues direccions, sense trobar-ne cap extrem.
Postulat del cercle
“Donat un centre i un radi, és possible traçar un únic cercle.”
Aquest postulat permet la construcció de cercles amb qualsevol radi i centre. Un cercle es defineix com a conjunt de punts equidistants d'un punt central.
Postulat de les paral·leles
“Donada una línia recta i un punt exterior a ella, hi ha exactament una línia recta paral·lela que passa pel punt exterior.”
Aquest postulat ha estat objecte de debat al llarg de la història i és conegut com el postulat de les paral·leles d'Euclides. Ha portat al desenvolupament de geometries no euclidianes, que exploren les implicacions d'alterar aquest postulat.
Postulat dels angles
"La suma dels angles interiors dʻun triangle és igual a dos angles rectes (180 graus)."
Aquest postulat estableix la relació entre els angles interiors dun triangle i la mesura total dels angles. És essencial per a la congruència i semblança dels triangles a la geometria euclidiana.
Aplicacions pràctiques
La Geometria Euclidiana no és només un conjunt de teoremes abstractes, sinó que també ha trobat aplicacions pràctiques en diversos camps.
L'arquitectura, per exemple, ha fet servir principis geomètrics euclidians en el disseny d'estructures des de temps antics. L'enginyeria i la física clàssica també es basen en la geometria euclidiana per modelar el món físic de manera precisa.
Influència a l'arquitectura
Les formes geomètriques bàsiques, com ara triangles i cercles, han estat la base per al disseny de plans arquitectònics, des de la piràmide de Keops fins a la cúpula de la Basílica de Sant Pere.
A més, la trigonometria euclidiana s'ha aplicat per calcular distàncies i angles, assegurant-ne la precisió en la construcció. El teorema de Pitàgores ha estat essencial per garantir l'estabilitat estructural a la disposició de columnes i murs.
D'altra banda, la geometria descriptiva, derivada d'Euclides, ha permès representar projectes en plans bidimensionals, facilitant la comunicació visual al disseny arquitectònic.
Desenvolupaments posteriors
Tot i la seva àmplia aplicabilitat, la Geometria Euclidiana ha estat objecte de crítiques i desenvolupaments posteriors. A finals del segle XIX, matemàtics com Nikolai Lobachevsky i János Bolyai van explorar geometries no euclidianes, on el cinquè postulat d'Euclides no era vàlid.
Això va portar a la formulació de la geometria hiperbòlica i el descobriment que hi ha mons matemàtics coherents en els quals els angles d'un triangle poden sumar menys o més de dos angles rectes.