La geometria no euclidiana és un camp d'estudi matemàtic que desafia i amplia els postulats establerts per Euclides a la seva obra "Els Elements".
A diferència de la geometria euclidiana, que es basa en cinc postulats fonamentals, les geometries no euclidianes sorgeixen en modificar el cinquè postulat, conegut com el postulat de les paral·leles.
Fonaments de la geometria euclidiana
La geometria euclidiana es basa en cinc axiomes fonamentals:
- Donada qualsevol parella de punts, hi ha un segment de línia recta que els uneix.
- Qualsevol segment de línia recta es pot estendre indefinidament a les dues adreces.
- Donat un punt i un radi, es pot traçar un cercle amb aquest radi.
- Tots els angles rectes són iguals entre si.
- Donat un punt fora d'una línia, hi ha una i només una línia paral·lela a la línia donada que passa per aquest punt.
Els primers quatre postulats són intuïtivament acceptables i formen la base de la geometria clàssica. Tot i això, el cinquè postulat ha estat objecte de debat durant segles, ja que la seva formulació no és tan evident com els altres. Molts matemàtics van intentar demostrar-ho com un teorema derivat dels altres quatre, però no van tenir èxit.
Això va portar al desenvolupament de noves geometries on aquest postulat era modificat o reemplaçat.
Geometries no euclidianes
Les dues principals geometries no euclidianes són la geometria hiperbòlica i la geometria el·líptica. Totes dues sorgeixen de la negació del cinquè postulat d'Euclides i presenten característiques que desafien la intuïció clàssica.
Geometria hiperbòlica
La geometria hiperbòlica, desenvolupada independentment per Nikolai Lobachevsky i János Bolyai al segle XIX, postula que per un punt exterior a una línia donada passen infinites línies paral·leles a la línia original. Algunes característiques clau d'aquesta geometria inclouen:
- Els angles dun triangle sumen menys de 180 graus.
- Les línies paral·leles poden divergir en totes dues direccions.
- No hi ha rectangles en el sentit euclidià.
- L'espai es pot modelar en una superfície de curvatura negativa, com ara el model del disc de Poincaré o el model del semiplà hiperbòlic.
Aquesta geometria ha trobat aplicacions a la teoria de la relativitat general d'Einstein, ja que descriu el comportament de l'espai-temps en presència de masses gravitatòries.
Geometria el·líptica
La geometria el·líptica, promoguda per Bernhard Riemann al segle XIX, postula que no hi ha línies paral·leles, ja que totes les línies eventualment s'intersecten. Això es pot visualitzar a la geometria d'una esfera, on les "rectes" són cercles màxims (geodèsiques) i qualsevol parell d'aquestes línies es creua. Algunes propietats inclouen:
- Els angles dun triangle sumen més de 180 graus.
- Les línies rectes són finites, però no tenen vores.
- Els rectangles no existeixen.
Aquesta geometria és rellevant a la cosmologia, on s'utilitza per modelar universos de curvatura positiva.
Aplicacions de la geometria no euclidiana
La geometria no euclidiana ha tingut un impacte profund en diverses disciplines científiques i tecnològiques:
- Física : En la relativitat general, l'espai-temps es modela mitjançant una geometria de curvatura variable, cosa que permet descriure la gravitació en un marc geomètric.
- Navegació i cartografia Els sistemes de coordenades geodèsiques a la Terra utilitzen conceptes de la geometria esferoïdal, una forma de geometria no euclidiana.
- Criptografia i teoria de nombres Algunes estructures matemàtiques que sorgeixen en la geometria hiperbòlica s'apliquen en algoritmes criptogràfics.
- Art i disseny : La representació d'espais no euclidians ha inspirat artistes com MC Escher, el treball dels quals explora patrons impossibles i perspectives inusuals.
Models matemàtics
Hi ha diversos models matemàtics que permeten visualitzar i treballar amb la geometria no euclidiana:
- Model del disc de Poincaré : Representa la geometria hiperbòlica en un disc unitari on les línies geodèsiques són arcs de cercle ortogonals a la vora del disc.
- Model del semiplà hiperbòlic Utilitza la meitat superior del pla cartesià, on les geodèsiques són semicircumferències ortogonals a l'eix horitzontal.
- Geometria esferoïdal Modela la geometria el·líptica en una esfera, on els grans cercles actuen com a "línies rectes".
Impacte filosòfic i matemàtic
El descobriment de les geometries no euclidianes va tenir un impacte significatiu en la filosofia i la matemàtica:
- Va qüestionar la unicitat de la veritat matemàtica , mostrant que existeixen múltiples sistemes geomètrics igualment vàlids.
- Va impulsar la investigació sobre la consistència dels sistemes axiomàtics , portant als treballs de Hilbert i Gödel.
- Va redefinir la percepció de l'espai i la realitat , influint en la física moderna i la teoria de la relativitat.