L'esfera, un cos geomètric corb sense arestes ni vèrtexs, destaca per la uniformitat de distàncies entre tots els punts i el centre. Segons la seva definició, aquesta forma tridimensional es genera en fer una rotació completa d'un cercle al voltant del seu diàmetre, creant una superfície de revolució.
Una propietat notable de l'esfera és que té l'àrea superficial més reduïda entre totes les formes que tanquen un volum específic. Aquesta característica, juntament amb la simetria i la perfecció geomètrica, fa que l'esfera sigui una figura fonamental i eficient en la geometria tridimensional.
Què és una esfera?
Una esfera és una figura geomètrica tridimensional perfectament simètrica i tancada, la superfície de la qual consisteix en tots els punts equidistants del centre. Caracteritzada per la seva absència completa d'arestes i vèrtexs, l'esfera exhibeix simetria des de qualsevol perspectiva.
Les esferes són presents a la natura i les seves propietats s'apliquen en diversos camps científics.
Característiques i propietats
- Simetria: Les esferes exhibeixen una simetria perfecta des de qualsevol punt de vista. Qualsevol pla que passi pel centre divideix l'esfera en dues meitats iguals.
- Superfície corba: La superfície d'una esfera és una corba contínua sense arestes ni vèrtexs. Tots els punts a la superfície estan equidistants del centre.
- Centre: Cada esfera té un punt central des del qual totes les distàncies a la superfície són iguals.
- Absència d'arestes i vèrtexs: A diferència de políedres i altres cossos geomètrics, les esferes no tenen arestes i vèrtexs, contribuint a la seva simplicitat i uniformitat.
Components essencials duna esfera
Els elements següents defineixen l'esfera, des del punt central fins a les línies i circumferències que caracteritzen la seva forma tridimensional única:
- Centre : El punt fix a l'esfera equidistant de tots els punts de la seva superfície corba. Aquest centre és a la mateixa distància de qualsevol punt superficial.
- Eix : Una línia infinita que travessa el centre de l'esfera, proporcionant una referència direccional per al cos geomètric.
- Ràdio : La distància entre el centre de l'esfera i qualsevol punt de la superfície, definint l'extensió radial del sòlid tridimensional.
- Diàmetre : La longitud de la línia recta que connecta dos punts a la superfície, passant pel centre. El valor és el doble del radi, representant la màxima extensió de l'esfera.
- Paral·lels : Circumferències formades en tallar el sòlid amb un pla perpendicular a l'eix, creant seccions circulars.
- Meridians : Circumferències resultants de la secció de l'esfera per un pla que conté l'eix, oferint seccions circulars amb orientació específica.
- Equador : El paral·lel el centre del qual coincideix amb el centre de l'esfera, destacant un punt especial en la seva estructura.
Càlcul de làrea
Per calcular l'àrea de la superfície d'una esfera es fa servir la fórmula matemàtica següent:
A = 4·π·r²
On
-
A és el valor de làrea superficial de lesfera. Les unitats de l'àrea al SI de mesures són metres quadrats.
-
r és el radi expressat en metres.
Fórmula del volum
Per calcular el volum en funció del radi de l'esfera podem fer servir la fórmula següent:
V = (4·π·r³)/3
On
-
V és el volum expressat en metres cúbics.
-
r és el valor del radi expressat en metres.
El volum de l'esfera és igual a 2/3 al volum del cilindre circumscrit a la figura.
Equació de l'esfera
L'equació general d'una esfera en un sistema de coordenades tridimensional s'expressa com a:
(x−h)²+(y−k)²+(z−l)²=r²
On:
-
(h,k,l) són les coordenades del centre de l'esfera.
-
r és el radi de l'esfera.
Aquesta equació reflecteix la idea que cada punt (x,y,z) a la superfície de l'esfera compleix amb la condició que la suma dels quadrats de les diferències entre les coordenades i les del centre sigui igual al quadrat del radi.
Quan el centre de l'esfera és a l'origen del sistema de coordenades (0,0,0), l'equació se simplifica a:
x²+i²+z²=r²
Aquesta forma d'equació defineix una esfera centrada a l'origen amb radi r. En tots dos casos, l'equació de l'esfera és fonamental per a la representació i la comprensió de la geometria tridimensional.
Coordenades esfèriques
Les coordenades esfèriques són un sistema de coordenades tridimensional que es fa servir per especificar la posició d'un punt a l'espai mitjançant dos angles i una distància radial des d'un origen comú.
Aquest sistema és especialment útil quan es treballa amb problemes de simetria esfèrica, com física, astronomia o enginyeria.
En coordenades esfèriques, un punt P es defineix mitjançant tres components:
-
Ràdio (r): La distància des de l'origen al punt P. És un nombre real no negatiu.
-
Colatitud (θ): L'angle que es mesura des de l'eix positiu z fins al segment de línia que connecta l'origen amb el punt P. Varia de 0∘ a 180.
-
Longitud (ϕ): L'angle que es mesura des de l'eix positiu x al pla xy fins al pla que conté el punt P. Varia de 0∘ a 360∘.
Les fórmules de conversió entre coordenades cartesianes (x,y,z) i coordenades esfèriques (r,θ,ϕ) són:
x = r · sinθ · cosϕ
y = r · sinθ · sinϕ
z = r · cosθ
Aquestes coordenades són particularment útils per descriure fenòmens que exhibeixen simetria esfèrica, com ara la radiació electromagnètica d‟una antena, la dispersió de partícules en física de partícules, o la posició d‟objectes celestes en astronomia.
